Telecentrisk avbildning och perspektiv

Vid alla typer av avbildning där man ska gära mätningar i bilden eller motsvarande är det viktigt att eliminera systematiska felkällor. En sådan är att förstoring i vanlig avbildning beror på ett ickelinjärt sätt av objektsavstånd

 

Ett annat uppkommer om man försöker göra mätningar i bakgrund eller förgrund, eller på objekt man inte vet det exakta avståndet till. Då blir ju bilden suddig, vilket är ofrånkomligt, men (vilket är värre) suddighetens tyngdpunkt (centroiden), hamnar på ett annat avstånd från symmetriaxeln än den skarpa bilden.

Jfr fig nedan där de blå strålarna går mot ett två ggr förstorat objekt beläget 60mm bakom de bildregistrerande ytan som ligger i bildplanet för 1:1 avbildning (objektsavstånd=bildavstånd=40mm)

Man ser tydligt (?) att det blurr de blå strålarna åstakommer i bildregistreringsplanet inte är centrerat i den verkliga bilden.

Dessutom medför longitudinella förflyttningar på objektssidan en motsvarande förflyttning på bildsidan som tyvärr inte är linjär.

Ovan ser man att 10mm objektförflyttning ger 20mm bildförflyttning och allmännt gäller för små förflyttningar att

 

Detta brukar uttryckas som att den longitudinella förstoringen är kvadraten på den transversella (=den vanliga), men har egentligen inte så mycket med förstoring att göra.

En lösning på alla dessa tre problem är den så kallade telecentriska avbildningen som innehåller två komponenter:

Ett afokalt system bestånde av två linser (linssystem) med gemensamt reellt fokus emellan

Och

En apertur som ska vara av sådan storlek att den blir aperturstopp placerad i det gemensamma fokus

Vi börjar med avbildningen i det afokala systemet och konstaterar att eftersom det är afokalt kan man inte använda huvudplan i beräkningen (varför inte?) utan får räkna lins för lins.

Linsernas fokallängder är f1 och f2 och avståndet mellan dem alltså f1+f2, a­1 är objektsavstånd till lins 1osv

 

 

 

Nu visar det sig praktiskt att beräkna hur långt bakom bakre linsens bakre fokus bilden hamnar dvs

 

Den som till äventyrs bekantat sig med Newton’s variant av linsformeln får här sin belöning.

Dvs avståndet mellan bild och bakre linsens bakre fokus är lika med avståndet mellan objekt och främre linsens främre fokus gånger systemets teleskopförstoring i kvadrat (!!)

Varför är nu detta kul? Jo en viss förflyttning av objekt motsvarar alltid en viss förflyttning av bild oberoende av var objektets utgångsläge är, dvs den longitudinella förstoringen är alltid lika stor.

Vad händer med den vanliga (transversella) förstoringen då?

 

dvs teleskopförstoringen blir oberoende av var objektet placeras.

Sedan var det det där med aperturen:

Om aperturstoppet ligger i det gemensamma fokus kommer både inträdespupill och utträdespupill att hamna i oändligheten, vilket betyder att det alltid är strålar i samma vinkelsektor som accepteras av systemet, oberoende av objektsstorlek.

En liten figur kanske?

Vi har här två objektslägen 50mm och 60mm före första lins och vi ser att objektsförflyttning och bildförflyttning är lika eftersom linserna har samma fokallängd. Förstoringen är också följdriktigt ett.

Detta att  utträdespupillen ligger i oändligheten medför att den ljuskon som är på väg in mot eller ut från bilden alltid ligger symmetriskt runt bilden, och tyngdpunkten hamnar alltså på rätt ställe. Låt exempelvis den bildregistrerande ytan ligga i det blå bildplanet. Den gröna ljuskonen har då sitt axiella centrum i den blå pilspetsen.

Denna typ av avbildning löser alltså alltså alla de problem som radades upp i början och används främst vi mätning i bild.

Nackdelarna är att systemet måste vara ganska stort. Man kan visa att linserna måsta vara större än summan av objektsstorlek, bildstorlek och aperturstorlek om man vill vara säker på att slippa vinjttering för rimliga objektsavstånd. Vinjettering förstör hela resonemanget ovan.

Prova gärna att placera objektet 30mm från första lins i ovanstående system...

Nästa nackdel är att det blir rätt dyrt. De bägge linserna är i själva verket var sitt kameraobjektiv, vända med bildsidan från varandra (varför det?).

Perspektiv

När man mäter i en bild som föreställer en tredimensionell verklighet kommer longitudinella och transversella sträckor att förstoras olika mycket. En pinne belägen på symmetriaxeln kommer givetvis inte att kunna längdbedömas, medan en som ligger en bit vid sidan kan det. Låt oss betrakta en pinne med längden Da belägen med sin närmsta punkt på avståndet a från en vanlig (ej telecentrisk) lins.

Om vi låter objektsavståndet vara mycket större än fokalängden blir då bildavst = f och transversella förstoringen följaktligen M=f/a.

Vi får att

 

De tre sista leden representerar likvärdiga sätt att skriva samma sak.

Observera att detta är konsistent med det man lärde sig om perspektiv i bildundervisningen i grundskolan (?), nämligen om konstruktionslinjer som går mot en given punkt = optiska axelns förlängning till oändligheten